Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri, Contoh Soal, dan Pembahasan

Annisa Jullia Chandra

Nov 18, 2021 — 4 min read

dok. penulis by Canva

Artikel ini membahas tentang rumus jumlah n suku pertama deret geometri atau Sn Geometri, beserta contoh soal dan pembahasan.

Kalau pernah mendengar tentang deret aritmatika, kemungkinan besar enggak asing dengan deret geometri. Dalam artikel ini, gue akan membahas bagaimana rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri, tetapi seperti biasa, ada beberapa definisi dulu nih yang harus diketahui.

Apa itu barisan dan deret? Menurut Marthen Kanginan, barisan adalah setiap daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mengikuti pola tertentu. Sedangkan deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan, deret aritmetika berarti jumlah suku dari suatu barisan aritmetika.

Deret itu seperti ini -> $U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n-1} + U_{n}$

Barisan itu seperti ini -> $U_{1}, U_{2}, U_{3},...,U_{n-1},U_{n}$

Berbeda dengan aritmatika yang merupakan selisih suatu suku dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya, barisan geometri (geometric sequence) adalah adanya rasio antara suatu suku dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya yang merupakan suatu bilangan tetap r. Jadi intinya, barisan dan deret geometri adalah suku-suku yang urutannya dengan patokan rasio yang sama.

Barisan geometri = $U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}, U_{5}$

Untuk mencari rasio, caranya:

$\frac{U_{2}}{U_{1}} = r$

$\frac{U_{3}}{U_{2}} = r$

$\frac{U_{n}}{U_{n-1}} = r$

Bagaimana cara mencari rumus suku ke-n?

$U_{1} = a$

$U_{2} = ar$

$U_{3} = a\times r\times r = ar^{2}$

$U_{n} = ar^{n-1}$

Pembuktian Rumus Sn Deret Geometri

Jumlah n suku pertama geometri disebut Sn. Kenapa S? S itu singkatan dari sum yang berarti jumlah.

$S_{n} = a +ar +ar^{2} + ... + ar^{n-1}$

Persamaan di atas dikalikan dengan r

Akan menjadi

$S_{n} \times r = ar +ar^{2} + ... + ar^{n-1} + ar^{n}$

Lalu eliminasikan kedua persamaan di bawah ini:

1. $S_{n} = a + ar + ar^{2} + ... + ar^{n-1}$

2. $S_{n} \times r = ar +ar^{2} + ... + ar^{n-1} + ar^{n}$

Didapatkan hasilnya:

$S_{n} - (S_{n} \times r) = a - ar^{n}$

$(1 - r) S_{n} = a(1 - r^{n})$

$S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{(1-r)}$

Jadi, rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri adalah

$S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{(1-r)}$

Dengan syarat r kurang dari 1

$S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{(r-1)}$

Dengan syarat r lebih dari 1

rumus sn geometri — dok. Penulis by Canva

Daripada bingung, kita lanjut aja kali ya cek ke contoh soalnya.

Contoh Soal Sn Geometri dan Pembahasan

2 + 4 + 8 + … + 64 = ?

$\frac{U_{2}}{U_{1}} = r = \frac{4}{2} = 2$

$\frac{U_{3}}{U_{2}} = r = \frac{8}{4} = 2$

$U_{n} = ar^{n-1}$

64 = 2 ( $2^{n-1}$ )

$2^{n-1}$ = 64 / 2

$2^{n-1}$ = 32

$2^{5} = 32$

n – 1 = 5

n = 6

$S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{(r-1)}$

$S_{6} = \frac{2(2^{6} - 1)}{(2-1)} = 2 (63) = 126$

Coba kita buktikan ya dengan cara manual:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Bisa lo cek sendiri ya pakai kalkulator. Jawabannya akan sama.

Okay, kita langsung ke contoh soal lainnya, yuk!

Jumlah mainan di box adik pada tahun 2019 adalah 4 mainan. Setiap tahun mainannya bertambah 2x lipat dari tahun sebelumnya dan tidak pernah ada yang dibuang atau rusak, maka berapa banyak jumlah total mainan di box adik pada tahun 2023?

U1 = 2019 = 4 mainan

Rasionya adalah 2.

2023 = U5

Jumlah keseluruhan mainan = S5

$S_{5} = \frac{4(2^{5} - 1)}{(5-1)} = \frac{}{} = \frac{4(32-1)}{4} = 31$

Jadi, jumlah total mainan di box adik pada tahun 2023 adalah 31 mainan.

Yow, gimana setelah membaca penjelasan di atas dan melihat contoh soalnya? Apakah sekarang lebih mengerti tentang mencari jumlah n suku pertama deret geometri? Semoga begitu ya. Kalau ada kritik dan saran, silakan bisa tulis komentar di bawah. Kalau lo mau menonton video penjelasannya bisa di sini.

Referensi:

Kanginan, M. (2016). Matematika 2 untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Kelompok Wajib. Bandung: Grafindo Media Pratama.