deret aritmatika

Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika - Materi Matematika Kelas 11

Annisa Jullia Chandra

Sep 8, 2021 — 6 min read

dok. Penulis by Canva

Artikel ini membahas tentang rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika atau Sn Aritmatika, beserta contoh soal dan pembahasan.

Penasaran enggak gimana caranya menjumlahkan n suku pertama dalam deret aritmatika? Kali ini, gue akan menjelaskan bagaimana cara menghitung jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dan bagaimana rumus itu terbentuk. Sebelum itu, gue ingin mendefinisikan dulu nih beberapa istilah yang dipakai dalam materi barisan dan deret ini.

Menurut Marthen Kanginan, barisan adalah setiap daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mengikuti pola tertentu. Sedangkan deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan, deret aritmatika berarti jumlah suku dari suatu barisan aritmatika.

$U_{1}, U_{2}, U_{3},...,U_{n-1},U_{n}$ adalah barisan.

$U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n-1} + U_{n}$ adalah deret.

Barisan Aritmatika

Apa itu barisan aritmatika? Barisan aritmatika (arithmetic progression/sequence) adalah barisan yang selisih suatu suku dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan bilangan tetap (selalu sama). Selisih tersebut dapat kita sebut sebagai beda atau b. Ada juga rumus Un untuk menentukan suku ke-n barisan aritmatika, rumusnya:

$U_{n} = a + (n-1)b$

Sekarang gue mau membahas Sn atau jumlah n suku pertama suatu barisan bilangan.

Jumlah suku dituliskan seperti ini:

$S_{5} = U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} + U_{5}$

Rumus Sn deret aritmatika:

$S_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$S_{n} = \frac{n}{2}(a + U_{n})$

Gimana Awal Mula Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika di Atas?

Ada 5 bilangan, 3 + 7 + 11 + 15 + 19 , berapakah jumlah semua bilangan tersebut? Kita jabarkan satu-satu dulu.

Untuk mencari rumus, kita bisa menambahkan semua dan membalik urutannya lalu jumlahkan kedua persamaannya, seperti gambar di bawah ini.

$2S_{5} = 5 \times 22$

*5 menandakan jumlah suku, dan 22 menandakan ujung akhir dari deret.

$2S_{5} = \frac{22 \times 5}{2} = 55$

Coba kita buktikan dengan hitungan biasa ya tanpa mengggunakan rumus Sn, 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55. Bisa lo coba hitung sendiri yak, hasilnya pasti sama.

Dari contoh di atas, kita coba bentuk rumusnya di bawah ini.

Kita bisa dapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika sebagai berikut:

$S_{n} = \frac{n}{2}\left ( U_{1} + U_{n} \right )$

Contoh Soal dan Pembahasan

Pada bulan pertama, Jisoo menabung di celengannya sebanyak Rp10.000,00, bulan ke-2 menabung sebanyak Rp15.000,00, bulan ke-3 sebanyak Rp20.000,00. Berapa jumlah keseluruhan uang Jisoo di celengan tersebut pada bulan ke-10?

Kita anggap saja bulan pertama Jisoo menabung = $U_{1}$ = Rp10.000,00, bulan ke-2 = $U_{2}$ = Rp15.000,00. Lalu dicari saja dahulu bedanya berapa.

b = U_{2} - U_{1} = 15.000 - 10.000 = 5.000

Didapatkan beda dari barisan aritmatika di atas adalah Rp5.000,00. Selanjutnya, kita lihat, yang ditanyakan adalah jumlah keseluruhan uang Jisoo pada bulan ke-10, berarti yang dicari adalah $S_{10}$ . Namun, sebelum mencari $S_{10}$ , kita mencari $U_{10}$ terlebih dahulu, yuk!

U_{10} = 10.000 + \left ( 10-1 \right )5.000 = 10.000 + 45.000 = 55.000

Wah sudah didapat hasil dari $U_{10}$ nya. Baru deh kita cari $S_{10}$ . Dengan rumus yang sudah ada di atas ya, bisa scroll sedikit.

$S_{10} = \frac{10}{2}\left ( 10.000 + 55.000 \right ) = 5 (65.000) = 325.000$

Setelah dihitung, ternyata jumlah keseluruhan uang Jisoo di celengan tersebut pada bulan ke-10 adalah Rp325.000,00.

Suatu tembok dipasang ubin pada hari ke-5 sebanyak 14 dan pada hari ke-9 sebanyak 26. Jumlah ubin di tembok tersebut di hari ke-14 adalah …

Untuk soal tipe seperti ini, ketika tidak diketahui dari $U_{1}$ nya, kita bisa cari dari suku yang ada dahulu, yaitu $U_{5}$ dan $U_{9}$ .

$U_{5}$ = 14 -> $U_{5}$ = a + (5 – 1)b

14 = a + 4b

a + 4b = 14

$U_{9}$ = 26 -> $U_{9}$ = a + (9-1)b

26 = a +8b

a + 8b = 26

Ternyata dari hasil di atas, kita mendapatkan dua persamaan, yang bisa dibuat untuk mencari berapa nilai a (suku pertama) dan b (beda) nya.

a + 4b = 14
a + 8b = 26

Eliminasikan dua persamaan di atas, hasilnya akan menjadi

-4b = -12

b = 3

Selanjutnya, kita mencari nilai a

$U_{5}$ = a + (5 – 1)b

14 = a + ((4)3)

a = 14 – 12

a = 2

Didapatkan nilai a adalah 2. Kita lanjut aja mencari $U_{14}$ dahulu, karena yang diminta adalah mencari jumlah ubin di hari ke-14 = $S_{14}$ .

U_{14} = a + (14-1)b = 2 + (13 \times 3) = 41

Sudah didapat nih, kita lanjut mencari jumlah ubin di hari ke-14 dengan rumus Sn.

S_{n} = \frac{n}{2}\left ( U_{1} + U_{n} \right )

S_{14} = \frac{14}{2}\left ( 2 +41 \right ) = 7\left ( 43 \right ) = 301

Ternyata, jumlah ubin di tembok tersebut pada hari ke-14 adalah 301 ubin.

Baca Juga Artikel Materi Matematika Lainnya

Barisan dan Deret Aritmatika: Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Barisan dan Deret Geometri: Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Yow, selesai penjelasannya, gimana kesannya setelah lo baca penjelasan di atas? Sekarang sudah tahu asal mula rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika? Semoga lo bisa merasa terbantu dengan artikel ini ya.

Kalau lo mau nonton video penjelasannya bisa langsung ke: Video Materi Baris dan Deret Artimatika atau video penjelasan dari Youtube Channel Zenius di paling bawah ya.

Biar lebih lengkap elo juga bisa berlangganan paket belajar Zenius! Kita punya berbagai paket pilihan yang udah disesuaikan sama setiap kebutuhan elo. Klik gambar di bawah ini ya untuk pengalaman belajar yang lebih seru!