integral

Kupas Tuntas Rumus Kalkulus Dasar: Limit, Turunan, dan Integral

Fadil Rianno

Sep 20, 2021 — 7 min read

Rumus Kalkulus Dasar (Arsip Zenius)

Halo, Sobat Zenius! Artikel ini akan membahas tentang materi kalkulus dasar yaitu, limit, turunan, integral, dan beserta jenis-jenisnya. Yuk simak lebih lanjut!

Buat yang baru masuk ke kelas 10, sebelum belajar lebih lanjut tentang fisika, elo harus pahami dulu tentang kalkulus dasar.

Alasan kenapa kita harus paham tentang kalkulus dasar, karena dengan belajar kalkulus, perhitungan dan analisa pada materi matematika atau fisika akan menjadi lebih mudah. Dalam fisika, materi yang menggunakan kalkulus adalah GLBB (gerak lurus berubah beraturan), momen inersia, titik berat, dan lainnya.

Beberapa materi kalkulus yang dapat mempermudah perhitungan dan analisa antara lain:

Rumus kalkulus dasar yang meliputi limit, turunan dan integral termasuk dalam ragam rumus matematika. Untuk mempelajari kumpulan rumus lainnya, klik link artikel berikut: Kumpulan Rumus Matematika Lengkap dengan Keterangannya.

Setelah ini kita akan belajar turunan dan integral, tapi sebelum itu gue saranin download dulu dong aplikasi Zenius. Elo bisa nonton materi belajar gratis dan nikmati fitur seru lainnya. Klik banner di bawah ini ya!

Download Aplikasi Zenius

Tingkatin hasil belajar lewat kumpulan video materi dan ribuan contoh soal di Zenius. Maksimaln persiapanmu sekarang juga!

Limit (Kalkulus Dasar)

Nilai limit artinya nilai yang mendekati nilai fungsi. Untuk mencari nilai limit, subtitusikan nilai limit. Jika hasilnya ada (bukan bentuk tak tentu), maka selesai. Jika hasilnya tak tentu , maka bentuk limit harus diubah dengan melihat bentuknya:

Bentuk Pangkat

Jika terdapat bentuk pangkat pada persamaan limit, maka faktorkan

Contoh:

$lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x-2}{x^{2}-5x+6} = lim_{a\rightarrow b}\frac{2x-2}{(x-2)(x-3)} = lim_{a\rightarrow b}\frac{2}{x-3} = \frac{2}{-2} = -1$

Bentuk Akar

Jika terdapat bentuk akar pada persamaan limit, maka kalikan akar sekawan

Contoh:

$lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{2-\sqrt{x+3}} = lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{2-\sqrt{x+3}}\times \frac{2+\sqrt{x+3}}{2+\sqrt{x+3}} = lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(2+\sqrt{x+3})}{1-x} = -1(2+\sqrt{1+3}) = -4$

Penjelasan dan contoh soal lengkap tentang sifat limit & bentuk limit fungsi lainnya dapat dibaca di artikel berikut: Memahami Limit Fungsi Aljabar dan Limit Tak Hingga.

Bentuk Trigonometri

Jika terdapat bentuk trigonometri pada persamaan limit, maka gunakan sifat pada limit trigonometri

Sifat Limit Trigonometri

$lim_{x\rightarrow 0}sin ax = tan ax =ax$

Contoh:

$lim_{x\rightarrow 0}\frac{2 tan 3x cos 4x}{sin 5x} = \frac{2\times 3\times cos0}{5} = \frac{6}{5}$

Penjelasan dan contoh soal lengkap tentang limit trigonometri dapat dibaca di artikel berikut: Limit Trigonometri – Rumus, Sifat, dan Contoh Soal.

Turunan (Kalkulus Dasar)

Sekarang saatnya kita lanjut belajar kalkulus dasar turunan. Definisi turunan adalah perubahan nilai fungsi pada waktu titik yang sangat kecil (laju perubahan nilai/nilai sesaat).

$f'(x) \equiv lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}$

Bentuk umum turunan bentuk pangkat

$f(x) = ax^{n} \rightarrow f'(x) = anx^{n-1}$
$f(x) = angka \rightarrow f'(x) = 0$

Contoh:

f(x) = 5x¹⁰ – 3x⁸ + 4x² – 5

f'(x) = 50x⁹ – 24x⁷ + 8x

Beberapa materi fisika yang menggunakan turunan diantaranya GLBB (kecepatan / percepatan sesaat), relativitas, induksi elektromagnetik, dan lain–lain.

Penjelasan lengkap tentang rumus turunan dapat dibaca di artikel berikut: Kenalan sama Rumus Turunan dalam Matematika, Yuk!.

Aturan Turunan

Untuk mencari bentuk turunan pada fungsi yang memiliki bentuk khusus (bentuk perkalian/ pembagian), berlaku aturan turunan

Bentuk perkalian (bentuk uv)

f(x) = u(x)v(x)

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Contoh: bentuk uv

f(x) = (x² – 5) (x³ – 8x + 7)

f'(x) = u’v + uv’

f'(x) = (2x) (x³ – 8x + 7) + (x² – 5) (3x² – 8)

Bentuk pembagian (bentuk $\frac{u}{v}$ )

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\rightarrow f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}$

contoh: bentuk $\frac{u}{v}$

$f(x) = \frac{x-2}{x+1}$
$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^{2}} = \frac{1\times (x+1)-(x-2)\times 1}{(x+1)^{2}}$

Penjelasan lengkap tentang turunan fungsi aljabar dapat dibaca di artikel berikut: Turunan Fungsi Aljabar – Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal.

Turunan Trigonometri

Beberapa bentuk trigonometri juga memiliki turunan

$f(x) = sin ax \rightarrow f'(x) = a cos ax$

$f(x) = cos ax \rightarrow f'(x) = -a sin ax$

$f(x) = tan ax \rightarrow f'(x) = a sec^{2} ax$

$f(x) = sec ax \rightarrow f'(x) = a sec ax tan ax$

$f(x) = cot ax \rightarrow f'(x) = -a csc^{2} ax$

$f(x) = csc ax \rightarrow f'(x) = -a csc ax cot ax$

Contoh:

f(x) = 6cos (5x-2)

f'(x) = 6.(-5 sin (5x – 2))

f'(x) = -30 sin (5x – 2)

Bentuk Berantai/Turunan Dalam

Apabila suatu fungsi memiliki bentuk berantai (ada fungsi didalam fungsi), maka ketika fungsi tersebut diturunkan akan mematuhi aturan berikut

$f(x) = u(v(x)) \rightarrow f'(x) = u'(v(x)).v'(x)$

Contoh:

f(x) = 7 (x⁵ – 1)³

f'(x) = 7.3 (x⁵ – 1)² (5x⁴)

f'(x) = 105x⁴ (x⁵ – 1)²

Penjelasan lengkap tentang turunan kedua dapat dibaca di artikel berikut: Turunan Kedua dan Contoh Soalnya.

Integral (Kalkulus Dasar)

Integral merupakan kebalikan dari definisi turunan. Jika suatu fungsi diturunkan terhadap x, maka akan menjadi x’. Namun ketika diintegralkan terhadap x, maka fungsi tersebut akan kembali menjadi x.

Penjelasan dan contoh soal lengkap tentang konsep integral dapat dibaca di artikel berikut: Integral: Pengertian, Sifat, Rumus, Beserta Contoh Soalnya.

Secara bentuk, integral dibagi 2 yaitu integral tak tentu (tanpa batas) dan integral tentu (dengan batas)

Penjelasan dan contoh soal lengkap tentang integral tentu dapat dibaca di artikel berikut: Integral Tentu: Materi, Rumus, dan Contoh Soal.

Integral Tak Tentu

Jika suatu fungsi pangkat diintegralkan, maka akan didapat bentuk umum seperti berikut

$\int ax^{n}dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C, n\neq -1$

di mana C merupakan bilangan sembarang (konstanta).

Penjelasan dan contoh soal lengkap tentang integral tak tentu dapat dibaca di artikel berikut: Integral Tak Tentu: Sifat, Rumus, dan Contoh Soal.

Bentuk Pangkat Khusus (n = -1)

$\int x^{-1}dx = ln \left | x \right | + C$

Di mana adalah logaritma natural

Bentuk Khusus

$\int e^{x}dx = e^{x} + C$

$\int a^{x}dx = \frac{a^{z}}{ln a} + C$

Di mana e merupakan bilangan euler dan a bilangan sembarang positif.

Sifat Integral

$\int kf(x)dx = k \int f(x)dx$

$\int [f(x)\pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Contoh:

$\int_{0}^{2}(3x^{2}-1)dx = x^{3}-x ]_{0}^{2} = (2^{3}-2) - (0^{3}-0) = 6$

Integral Trigonometri

Bentuk trigonometri juga memiliki integral

$\int sin axdx = -\frac{1}{a} cos ax + C$
$\int cos axdx = \frac{1}{a} sin ax + C$
$\int sec^{2} axdx = \frac{1}{a} tan ax + C$
$\int sec ax tan ax dx = \frac{1}{a} sec ax + C$
$\int csc^{2} ax dx = \frac{1}{a} cot ax + C$
$\int csc ax cot ax dx = -\frac{1}{a} csc ax + C$

Penjelasan dan contoh soal lengkap tentang integral trigonometri dapat dibaca di kedua artikel berikut: Rumus Integral Fungsi Trigonometri dan Rumus Integral Substitusi Trigonometri.

Integral Subtitusi

Integral subtitusi biasanya digunakan pada perkalian dua bentuk fungsi dan salah satunya merupakan turunan dari fungsi lainnya (selisih pangkat tertingginya satu) seperti berikut

$\int f(x)g'(x)dx \rightarrow misalkan u = f(x)$

Contoh:

$\int 2x(x^{2}-3)^{4}dx = \int 2x.u^{4}.\frac{du}{dx} = \int u^{4}du = \frac{1}{5}u^{5} + C$

= $\frac{1}{5}(x^{2}-3)^{5} + C$

dengan,

$u = x^{2}-3 \rightarrow du = 2xdx \rightarrow dx = \frac{du}{2x}$

Penjelasan dan contoh soal lengkap tentang integral subsitusi (dan integral parsial) dapat dibaca di artikel berikut: Integral Parsial dan Integral Substitusi.

Luas Kurva

Salah satu fungsi dari integral tentu adalah mencari luas dibawah kurva/fungsi. Jika suatu fungsi diintegralkan pada batas tertentu, maka nilai yang telah dicari merupakan luas daerahnya

Secara matematis, luas daerah di bawah kurva pada batas a sampai b yaitu

$R = L_{ab} = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Integral kurva sering dipakai pada materi fisika, terutama dalam mencari luas daerah/nilai jarak, usaha, impuls dan energi potensial.

Mau belajar materi integral lainnya? Tenang aja, Sobat Zenius. Kamu bisa pelajari aplikasi integral luas dan volume di kedua artikel berikut: Aplikasi Integral Luas dan Aplikasi Integral Volume.

Pengin juga belajar latihan soal khusus integral? Zenius juga sudah merangkumnya di sini: Kumpulan Contoh Soal Integral Beserta Jawabannya.

Terima kasih karena telah membaca artikel materi kalkulus dasar ini hingga tuntas. Gue harap elo jadi paham dan bisa ngebantai semua soal kalkulus dengan mudah. Jadi, elo bisa lebih mendalami materi tentang fisika di sekolah, deh!

Eits masih ingin belajar turunan dan integral lebih banyak lagi? Yuk lanjut belajar materi ini dengan klik banner di bawah ini!

Belajar materi-materi pelajaran lainnya yuk dengan berlangganan paket belajar Zenius. Elo bisa lebih paham materi lewat penjelasan dari live class, dapatkan juga latihan soal dan tryout ujian sekolah untuk menguji kemampuan elo. Simak informasi lengkapnya yuk!

Sampai bertemu di artikel selanjutnya ya! Oh iya, jangan lupa untuk terus berlatih ya. Bisa kalian coba dengan ngerjain soal-soal yang ada di Zenius. Semangat terus ya, Sobat Zenius!

Originally published September 20, 2021
Updated by Silvia Dwi

Kupas Tuntas Rumus Kalkulus Dasar: Limit, Turunan, dan Integral

Fadil Rianno

Limit (Kalkulus Dasar)

Bentuk Pangkat

Bentuk Akar

Bentuk Trigonometri

Sifat Limit Trigonometri

Turunan (Kalkulus Dasar)

Aturan Turunan

Turunan Trigonometri

Bentuk Berantai/Turunan Dalam

Integral (Kalkulus Dasar)

Integral Tak Tentu

Bentuk Pangkat Khusus (n = -1)

Bentuk Khusus

Sifat Integral

Integral Trigonometri

Integral Subtitusi

Luas Kurva

Read more

Penemuan Ikan Buta di Bogor: Kok Bisa Survive Tanpa Mata?

Kenapa Orang Kaya Tetap Korupsi, dari Perspektif Ilmu Ekonomi

Cerita Roy: Terinspirasi dari Youtuber, Sampai Kuliah di Rusia dengan Beasiswa

Satu Tahun Pemkab Buol dan Zenius Menuju Visi Pendidikan Berkualitas