Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen – Materi Matematika Kelas 10

Gimana sih, bentuk, sifat, serta rumus dari persamaan eksponen dan pertidaksamaan eksponen? Yuk, kita belajar cara menghitungnya bareng-bareng!

3 x 3 x 3 = 27

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

Siapa di sini yang masih nulis bentuk perkalian satu per satu kayak di atas? Gue yakin elo bukan salah satunya, sih, apalagi kalau udah lama belajar bareng Zenius.

Ya… elo bayangin aja. Kalau angka 3 dikalikan sebanyak 3 atau 5 kali, mungkin masih gampang buat elo menuliskannya satu-satu. Tapi, gimana kalau angka 3-nya harus dikalikan sebanyak 15 kali? Wah, elo pasti bakal pegel sendiri.

Karena itu, di Matematika, ada yang namanya eksponen atau bentuk perkalian berulang dari bilangan yang sama. Sederhananya, bentuk perkalian di atas bisa elo tuliskan menggunakan pangkat. Sehingga, bisa ditulis secara sederhana seperti ini:

3 x 3 x 3 = 27 → 3³ = 27

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 → 3⁵ = 243

Gimana? Jadi lebih gampang ditulis dan enak dibaca, kan?

Nah, kalau di materi Matematika kelas 10 sebelumnya elo udah belajar tentang grafik dan fungsi eksponen, kali ini elo perlu tahu cara menentukan persamaan dan pertidaksamaan eksponen.

Persamaan Eksponen

Sesuai namanya, persamaan eksponen ditandai dengan adanya tanda sama dengan (=). Sementara, seperti yang udah gue bilang, eksponen adalah bentuk perkalian berulang yang bisa ditulis dengan pangkat.

Terus, apa yang dimaksud persamaan eksponen? Memang ada eksponen yang nggak sama? Biar lebih gampang dipahami, gue kasih contoh langsung, ya.

Misal, diketahui sebuah fungsi eksponen f(x) = 2^x. Terus, gue ingin cari tahu, berapa nilai x ketika nilai fungsinya adalah 128. Secara matematis, penulisannya akan seperti di bawah ini.

f(x) = 2^x

f(x) = 128

2^x = 128

Nah, bentuk 2^x = 128 inilah yang disebut sebagai persamaan eksponen. Dalam kasus ini, kita diminta buat mencari nilai x yang memenuhi persamaan.

Selain buat menyederhanakan bentuk, penerapan persamaan eksponen dalam kehidupan sehari-hari bisa elo temuin di perhitungan bunga majemuk bidang Ekonomi. Misalnya, saat diketahui uang sebesar M rupiah ditabung dengan bunga p% per tahun, maka jumlah uang setelah tahun tertentu bisa dihitung pakai rumus H = M (1 + p/100)^t.

Nggak hanya itu, persamaan eksponen juga digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi, peluruhan zat radioaktif, perubahan suhu logam, dan sebagainya.

Wah, ternyata persamaan eksponen punya manfaat yang banyak banget. Bahkan, ada kaitannya sama bidang ilmu lain seperti Ekonomi, Geografi, dan Fisika.

Bukan cuma manfaatnya, persamaan eksponen juga punya beberapa bentuk, antara lain:

• 10^x = 1
• 4^2x-1 = 2^x
• (3x-1)^x = (3x-1)^4x-1 

Pastinya, setiap bentuk persamaan eksponen ini punya cara penyelesaian yang berbeda-beda, bergantung sifatnya. Jadi, sebelum bahas bentuk persamaan eksponen lebih jauh, elo harus ingat dulu apa aja sifatnya. Langsung kita bahas, yuk!

Baca Juga: Pengertian Eksponen Beserta Sifat dan Contoh Soalnya

Sifat-Sifat Persamaan Eksponen

Sebenarnya, sifat-sifat persamaan eksponen nggak jauh beda sama sifat dari eksponen itu sendiri. Hayo, elo masih ingat nggak, apa aja sifatnya? Sini deh, gue kasih sedikit penjelasannya.

1. aⁿ . a^m = a^n+m, dalam bentuk perkalian, pangkat akan ditambah.

2.

dalam bentuk pembagian, pangkat akan dikurangi.

3. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, dalam bentuk ini masing-masing variabel mempunyai pangkat masing-masing.

4.

dalam bentuk ini, penyebut dan pembilang mempunyai pangkat masing-masing.

5. a⁰ = 1, dalam bentuk pangkat 0 semua akan bernilai 1.

6.

dalam ini, pangkat negatif menjadi penyebut.

7. (aⁿ)^m = a^nm,  jika ada di dalam kurung, pangkat akan dikalikan.

8.

dalam bentuk ini, a menjadi akar dan n menjadi pangkat akar.

Sebenarnya, sifat persamaan eksponen itu masih banyak banget. Tapi, delapan poin di atas jadi sifat yang penting dan mendasar buat elo pelajari. Karena umumnya, sifat eksponen lainnya berasal dari turunan kedelapan sifat di atas.

Nah, elo udah tahu apa aja sifat yang dimiliki sama persamaan eksponen. Sekarang, waktunya buat cari tahu bentuk-bentuknya.

Baca Juga: Pengertian dan Jenis Fungsi Matematika

Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponen

Di awal, gue udah menuliskan beberapa contoh bentuk persamaan eksponen. Secara detail, bentuk lainnya bakal gue bahas di bawah ini beserta cara pengerjaannya.

1. a^f(x) = a^p, a > 0, a ≠ 1, f(x) = p

Biar lebih paham, gue kasih contoh soal persamaan eksponen yang menerapkan bentuk ini. 

2^2x = 2⁴

Elo bisa lihat rumus persamaan eksponen di atas, di mana syaratnya adalah a harus lebih besar dari 0 dan nilainya nggak sama dengan 1. Menurut elo, soal ini memenuhi syarat, nggak? Jelas iya, dong. 

Artinya, buat mengerjakan soal ini, elo bisa langsung pakai persamaan,

Jadi, solusi dari persamaan eksponen ini adalah x = 2.

2. a^f(x) = a^g(x), a > 0, a ≠ 1, f(x) = g(x)

Bentuk persamaan eksponen ini nggak beda jauh dengan yang sebelumnya. Di sini, bentuk p berubah menjadi fungsi g(x). Coba elo lihat cara pengerjaannya di bawah.

Contoh: Selesaikan persamaan eksponen berikut 2^2x+1 = 2^x-1

Menurut elo, persamaan eksponen di atas udah memenuhi syarat a > 0, a ≠ 1, f(x) = g(x) belum? Coba kita lihat, ya.

Nilai a lebih dari besar dari 0 dan nggak sama dengan 1. Berarti, elo tinggal hitung pangkatnya aja buat mencari nilai x.

Dari sini, diketahui nilai x dari persamaan eksponen di atas adalah -2.

3. a^(fx) = b^(fx), a & b > 0, a & b ≠ 1, f(x) = 0

Gimana sama bentuk persamaan eksponen yang satu ini? Langsung kita lihat contoh soalnya, yuk!

2^x+5 = 3^x+5

Inget ya, kuncinya adalah elo harus liat syarat persamaannya dulu. Dari contoh soal di atas, 2 dan 3 udah lebih dari 0 dan bukan sama dengan 1. Jadi, jelas banget kalau soal ini memenuhi syarat bentuk persamaan eksponen dan bisa dikerjakan pakai fungsi f(x) = 0. Maksudnya gimana?

Jadi, karena persamaan eksponennya punya pangkat yang sama, elo bisa langsung mencari nilai x-nya.

x + 5 = 0

x = -5 

Nah, jadi lebih gampang kan. Nilai x bisa langsung elo ketahui. Sekarang, kita lanjut ke bentuk persamaan eksponen yang berikutnya.

4. a(x)^f(x) = a(x)^g(x)

Buat menyelesaikan bentuk persamaan eksponen ini, elo harus melakukan beberapa cara. Nah, langsung aja kita masuk ke contoh soalnya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut!

(x²-5x+5)^2x+3 = (x²-5x+5)^3x-2

Kalau elo perhatikan, contoh soal di atas udah sama dengan bentuk a(x)^(fx) = a(x)^(gx). Di mana, a(x)-nya adalah x²-5x+5, f(x) adalah 2x+3, dan g(x) yaitu 3x-2. Jadi, tahap penyelesaiannya sebagai berikut.

• Cara pertama, f(x) = g(x), elo bisa menghitung berdasarkan bentuk pangkatnya. Jadi, 

2x+3 = 3x -2

2x-3x = -2-3

-x = -5

x = 5

• Dengan cara kedua, a(x) = 1, elo bisa menemukan nilai x dengan cara:

x²-5x+5 = 1

x²-5x+4 = 0 → faktorkan

(x-4)(x-1) = 0

x = 4 dan x =1

• Lanjut ke cara yang ketiga, a(x) = -1, di mana f(x) dan g(x) memenuhi. Sehingga, 

x²-5x+5 = -1

x²-5x+6 = 0 → faktorkan

(x-2)(x-3) = 0

x = 2 dan x = 3

Kalau elo lihat, cara ini punya syarat yaitu f(x) dan g(x) harus memenuhi. Artinya, nilai x ketika dimasukkan ke f(x) dan g(x) harus sesuai. Coba kita hitung bareng-bareng.

x = 2

f(2) = 2(2)+3 = 7

g(2) = 3(2)-2 = 4

x = 3

f(3) = 2(3)+3 = 9

g(3) = 3(3)-2 = 7

Sebelumnya elo udah tahu, kalau nilai x = 2 dan x = 3 bakal membuat persamaan eksponen x²-5x+5 bernilai -1. Jadi, elo bisa tulis -1^f(x) = -1^g(x). 

Ketika x = 2, maka nilai -1^f(x) = -1^g(x) menjadi:

-1⁷ = -1⁴ 

-1 = 1 → pernyataan yang salah dan nggak bisa dijadikan solusi

Ketika x = 3, maka nilai -1^f(x) = -1^g(x) menjadi:

-1⁹ = -1⁷

-1 = -1 → pernyataan yang benar dan bisa jadi solusi

• Cara keempat, a(x) = 0, di mana f(x) dan g(x) > 0. Di sini, elo harus memfaktorkan persamaan x²-5x+5 = 0. Tapi, di sini agak sulit kalau elo memfaktorkannya langsung, jadi harus pakai cara abc.

Jadi, dari keempat cara di atas, berapa nilai x yang udah ditemukan? Iya, penyelesaiannya menjadi:

Wah, panjang juga ya, caranya. Coba jeda sebentar sambil pahami caranya pelan-pelan. Kalau udah selesai istirahatnya, elo bisa lanjut lagi ke bentuk persamaan eksponen berikutnya.

5. a(x)^f(x)=b(x)^f(x)

Nah, sama juga seperti yang sebelumnya, bentuk persamaan eksponen ini punya beberapa cara penyelesaian.

Biar semakin paham, gue coba jelasin lewat contoh soal di bawah.

Berdasarkan cara pertama, f(x) = 0, artinya x²-4x+3 = 0. Terus, langkah selanjutnya apa? Betul, elo harus memfaktorkan persamaannya.

Oke, elo udah tahu nilai x-nya. Tapi, masih harus dicek lagi nih, kira-kira udah sesuai belum sama syarat di mana a(x) dan b(x)  ≠ 0. Makanya, elo perlu substitusi nilai x ke a(x) dan b(x).

x = 3

3²-5(3)+9 = 3

2(3)+3 = 9

x = 1

1²-5(1)+9 = 5

2(1)+3 = 5

Ternyata, semua nilai x memenuhi syarat tidak sama dengan 0. Berarti, dari cara pertama aja elo udah dapat nilai x = 3 dan x =1.

Lanjut lagi ke cara yang kedua, a(x) = b(x), sehingga,

x²-5x+9 = 2x+3

x²-7x+6 = 0 → faktorkan

(x-6)(x-1) = 0

x = 6 dan x = 1

Cara pertama dan kedua udah elo selesaikan, apa selanjutnya? Ya… elo tinggal gabungkan aja nilai x kedua caranya. Jadi, solusi dari soal di atas adalah HP = {1,3,6}.

6. A (a^f(x))² + B (a^f(x)) + C = 0

Waduh, ribet banget caranya. Ada huruf A besar dan kecil, belum lagi B dan C.

Tenang-tenang, buat menemukan solusinya, elo bisa ubah a^f(x) dengan suatu variabel, misalnya m. Dari sini, elo bakal punya bentuk persamaan baru yang lebih sederhana, yaitu:

A m² + Bm + C = 0 

Kalau bentuknya udah berubah kayak di atas, elo bisa melakukan pemfaktoran dan substitusikan a^f(x) = m. Sekarang, coba elo perhatikan contoh soal persamaan eksponen di bawah.

2^2x-5.2^x+4=0

Biar lebih gampang, bentuk di atas bisa elo ubah jadi (2^x)²-5.2^x+4=0.

Nah, kayak yang gue bilang sebelumnya, elo perlu sederhanakan bentuk yang sama ke suatu variabel. Di sini, gue bakal ubah 2^x menjadi m. Jadi, kita punya bentuk baru m²-5m+4 = 0.

m²-5m+4 = 0 → faktorkan

(m-4)(m-1) = 0

m = 4 dan m = 1

Udah ketemu nilai m, berarti waktunya elo buat subtitusi nilai m ke 2^x tadi.

m = 4

2^x = 4

2^x = 2²

x = 2

m = 1

2^x = 2⁰

x = 0

Jadi, dari cara di atas, elo udah menemukan nilai x, yaitu x = 2 dan x = 0.

Nah, kalau udah tahu bentuk dan cara mengerjakannya, ternyata persamaan eksponen bisa elo selesaikan dengan mudah, kan? Gimana menurut elo?

Oke, elo simpan baik-baik pemahaman tentang persamaan eksponen di atas. Sekarang, lanjut ke pembahasan berikutnya yaitu pertidaksamaan eksponen.

Baca Juga: Grafik Fungsi Eksponen dan Cara Menggambarnya

Pertidaksamaan Eksponen

Kalau ada persamaan eksponen, ada juga pertidaksamaan eksponen. Namanya aja pertidaksamaan, berarti bentuknya bakal ada tanda pertidaksamaan. Apa aja nih, tanda pertidaksamaan?

Oh iya, elo masih sering tertukar antara tanda kurang dari atau lebih dari, nggak? Kalo gue bakal pakai bantuan tangan buat mengingatnya. 

Karena tangan kanan yang dibengkokkan terlihat mirip sama tanda lebih dari, gue bakal selalu ingat kalau tanda lebih dari punya sisi lancip yang mengarah ke kanan. Begitu juga sama tangan kiri yang dibengkokkan bakal terlihat seperti tanda kurang dari. Jadi, gue bakal ingat kalau sisi lancip dari tanda kurang dari itu mengarah ke kiri. 

Elo coba sendiri, deh! Kalau pakai bantuan tangan gini, gue yakin elo nggak bakal tertukar lagi.

Sekarang, kita lanjut ke contoh pertidaksamaan eksponen. Dari penjelasan sebelumnya, elo udah bisa nebak, gimana bentuknya?

Oke, contohnya, persamaan eksponen dari f(x) = 2^x adalah 2^x = 128. Terus, gimana kalau pertanyaannya jadi pertidaksamaan? Pada saat x sama dengan berapa nilai fungsinya lebih dari sama dengan 128? Di sini, elo bisa tuliskan bentuk pertidaksamaannya menjadi:

2^x ≥ 128

Nah, kira-kira elo tahu, nggak? Kalau di persamaan eksponen nilai x-nya berupa sebuah titik, gimana dengan pertidaksamaan eksponen?

Iya, betul banget. Kalau di pertidaksamaan eksponen, nilai x akan berbentuk interval. Contohnya,  x > 7, artinya nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7 dan ada di daerah kanan atas grafik.

Hm, kalau bentuknya kayak gitu, cara menghitungnya gimana, ya? Yuk, kita lihat bentuk pertidaksamaan eksponen di bawah ini.

Baca Juga: Rumus Pangkat dan Bilangan Kuadrat

Bentuk Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk pertidaksamaan eksponen bisa diselesaikan bergantung sama nilai a atau basisnya. Itulah kenapa basis tidak dapat minus dalam pertidaksamaan eksponen. Kalau nilai basis minus atau negatif, artinya elo harus mengalikannya dengan bilangan yang juga negatif, terus membalik tanda pertidaksamaannya. 

Berbeda dengan persamaan, pertidaksamaan eksponen cuma punya 2 bentuk umum. Bentuknya sendiri dikelompokkan berdasarkan tanda pertidaksamaannya, yaitu kurang dari (<) atau lebih dari (>).

1. a > 1 

→ a(x)^f(x) < a(x)^g(x), f(x) < g(x)

→ a(x)^f(x) > a(x)^g(x), f(x) > g(x)

Di pertidaksamaan, ketika elo punya nilai a > 1, rumus pertidaksamaan eksponen yang perlu elo ingat adalah tanda dari solusi bakal sama dengan soalnya. Maksudnya gimana?

Jadi, dari pertidaksamaan eksponen a(x)^f(x) < a(x)^g(x), solusinya akan punya tanda yang sama yaitu kurang dari. Sehingga, f(x) < g(x). Begitu juga sebaliknya, dari pertidaksamaan eksponen a(x)^f(x) > a(x)^g(x), tanda pertidaksamaannya akan tetap lebih dari. Sehingga solusi yang digunakan adalah f(x) > g(x).

Coba perhatikan contoh soal pertidaksamaan eksponen di bawah. Menurut elo, gimana cara menghitungnya?

5^x < 1

Oke, nilai 1 di ruas kanan soal bisa elo ubah menjadi 5⁰ . Berarti, g(x) = 0.

5^x < 5⁰ 

Nah, 5 yang merupakan a punya nilai lebih dari 1. Jadi, tanda yang dipakai di solusi bakal tetap sama seperti yang di soal, yaitu kurang dari.

Bisa disimpulkan, solusi dari contoh soal di atas adalah x < 0.

2. 0 < a < 1

→ a(x)^f(x) < a(x)^g(x), f(x) > g(x)

→ a(x)^f(x) > a(x)^g(x), f(x) < g(x)

Di bentuk pertidaksamaan eksponen yang satu ini, solusinya punya tanda yang berkebalikan dari soal. Misalnya, di soal diketahui pertidaksamaan a(x)^f(x) < a(x)^g(x), maka solusinya menjadi f(x) > g(x). Sementara, ketika soal mempunya bentuk a(x)^f(x) > a(x)^g(x), maka penyelesaiannya akan punya tanda yang berkebalikan menjadi f(x) < g(x).

Contoh:

(⅓)^2x-3 ≥ (⅓)^x+4

Di sini terlihat jelas ya, nilai a yaitu ⅓, ada di antara 0 dan 1 atau 0 < ⅓ < 1. Sehingga, tanda penyelesaiannya akan berkebalikan dari soalnya.

2x-3 ≤ x+4

2x-x ≤ 4+3

x ≤ 7 

Oke, jadi nilai x dari pertidaksamaan eksponen ini adalah x ≤ 7. 

Pengertian, sifat, bentuk, serta cara mengerjakan persamaan dan pertidaksamaan eksponen udah elo ketahui. Tahu dong, setelah ini apa yang dilakuin? Yup, latihan soal!

Baca Juga: Persamaan Linear Satu Variabel dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Belajar Matematika, nggak lengkap rasanya kalau elo nggak coba mengerjakan soal. Jadi, nggak perlu lama-lama lagi, deh. Langsung aja cek contoh soal persamaan dan pertidaksamaan eksponen berikut.

Contoh Soal 1

Salah satu solusi x dari persamaan 2^(x-1)(x-2) = 99^(x-1)(x-2) adalah ….

2^(x-1)(x-2) = 99^(x-1)(x-2)

a. -1

b. -2

c. 2

d. 3

e. 4

Pembahasan

Di sini, elo perlu lihat dulu nilai a dari setiap ruas. Nilai a pertama, 2 > 0 dan 2 ≠ 1. Terus, nilai a kedua yaitu 99 > 0 dan 99 ≠ 1. Karena itu, elo bisa langsung mencari nilai x berdasarkan pangkatnya.

(x-1)(x-2) = 0

x = 1     x = 2

Karena soal hanya meminta salah satu nilai x, maka jawaban yang tepat adalah c. 2.

Contoh Soal 2

Solusi dari pertidaksamaan 3^x-2 > 9 adalah ….

a. x > 4

b. x > 3

c. x > 2

d. x > 1

e. x < 4

Pembahasan

Sisi kanan contoh soal pertidaksamaan eksponen di atas nggak punya pangkat. Padahal, berdasarkan bentuknya, kita harus punya bentuk a(x)^f(x) < a(x)^g(x). Jadi, angka 9 harus diubah dulu supaya jadi berbentuk eksponen. Berapa pangkat berapa yang hasilnya 9? Iya, 3².

3^x-2 > 9 → 3^x-2 > 3²

Karena nilai a yaitu 3 lebih dari 1, maka,

x – 2 > 2

x > 4

Jadi, solusi dari pertidaksamaan 3^x-2 > 9 adalah a. x > 4.

Contoh Soal 3

Bakteri membelah diri menjadi 2 setiap menit. Pada pukul 06.00, terdapat 10 bakteri. Pada pukul berapa bakteri berjumlah 10.240?

a. 10.00

b. 10.10

c. 06.10

d. 16.00

e. 16.10

Pembahasan

Nah, contoh soal ini merupakan salah satu penerapan persamaan eksponen dalam kehidupan sehari-hari. Nggak cuma pertumbuhan populasi aja, persamaan eksponen juga digunakan buat menghitung pertumbuhan bakteri. Iya, jadinya populasi bakteri. Hehehe.

Oke, karena setiap menit bakteri membelah diri menjadi 2, elo harus menuliskannya menjadi 2^t. t di sini berarti waktu yang dibutuhkan oleh bakteri untuk membelah diri dalam satuan menit. 

Terus, 2^t perlu elo kalikan dengan jumlah bakteri awal, yaitu 10. Sekarang, elo punya bentuk 10.2^t.

Namanya aja persamaan eksponen, berarti elo butuh satu nilai lagi yang nantinya akan dihubungkan dengan tanda sama dengan. Menurut elo, apa yang harus ditulis? Yup, betul. Karena soal menanyakan pada pukul berapa bakteri berjumlah 10.240, elo bisa masukkan nilai ini ke dalam persamaan.

10.2^t = 10.240 → setiap ruas dibagi 10

2^t = 1.024

2^t = 2¹⁰

t = 10

Jadi, bakteri akan berjumlah 10.240 pada pukul 06.00 ditambah 10 menit menjadi pukul 06.10. So, jawabannya adalah c. 06.10.

*****

Oke, sampai di sini dulu pembahasan kita tentang persamaan eksponen dan pertidaksamaan eksponen. Semoga elo bisa lebih memahami apa itu persamaan dan pertidaksamaan eksponen, sifat, bentuk, dan cara menghitungnya.

Mau belajar tentang persamaan dan pertidaksamaan eksponen lebih dalam lagi? Langsung aja tonton video materi dan kerjakan latihan soalnya di Zenius. Caranya, klik banner yang ada di bawah ini! Selamat belajar, guys!

Biar makin mantap, Zenius punya beberapa paket belajar yang bisa lo pilih sesuai kebutuhan lo. Di sini lo nggak cuman mereview materi aja, tetapi juga ada latihan soal untuk mengukur pemahaman lo. Yuk langsung aja klik banner di bawah ini!

Referensi

Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen – Materi Zenius Kelas 10

Perpangkatan dan Bentuk Akar – Eva Risdaniati, dkk (2021)

Matematika SMA dan MA – Sri Kurnianingsih, dkk (2007)

Napier’s e – Napier – Mathematical Association of America (n.d.)