matematika

Mengenal Dalil L'Hopital dan Contoh Soalnya

Rahma Yulita Sari

Jun 1, 2022 — 7 min read

Halo Sobat Zenius, elo pasti familiar sama yang namanya limit dalam mata pelajaran matematika, kan?

Limit itu apa, sih? Limit bisa diartikan sebagai sebuah nilai yang mendekati nilai fungsi. Maksudnya gimana, tuh? Jadi, limit ini biasanya digunakan buat menyatakan suatu nilai ketika nilai tersebut mendekati nilai tertentu.

Dalam menghitung fungsi limit, elo bisa menggunakan beberapa metode. Salah satunya yaitu menggunakan dalil L’Hopital atau yang biasa disebut dengan aturan L’Hopital. Nantinya elo bakal ketemu sama materi ini di pelajaran matematika peminatan SMA kelas 12.

Di artikel kali ini, gue mau ngebahas mulai dari apa itu L’Hopital, siapa itu L’Hopital yang menciptakan rumusnya, hingga mengapa metode ini disebut teorema L’Hopital?

Supaya nggak bingung dan penasaran lagi, langsung saja kita masuk ke pembahasannya, yuk!

Apa itu Dalil L’Hopital?

Seperti biasa, sebelum kita memulai pembahasan lebih jauh, gue mau ngajak elo buat kenalan dulu sama apa itu L’Hopital?

Ternyata, nama dalil L’Hopital ini diambil dari nama penemunya, yaitu Guillaume de L’Hôpital. Siapa itu L’Hopital? Ia merupakan seorang matematikawan asal Prancis yang juga dikenal dengan nama Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital dan lahir pada tahun 1661.

Nah, aturan L’Hopital limit boleh dipakai jika untuk menghitung dan menemukan fungsi limit yang hasilnya tak tentu, misalnya kayak limit yang hasilnya berupa 0/0 atau ∞/∞. Hasil tersebut juga yang menjadi alasan mengapa disebut Teorema L’Hopital.

Oh iya, dalil L’Hopital ini berlaku buat fungsi trigonometri maupun fungsi aljabar, ya. Makanya penting buat elo memahami terlebih dahulu gimana caranya mencari turunan dari sebuah fungsi, baik itu fungsi trigonometri maupun fungsi aljabar. Nggak cuma ini aja, kamu juga bisa cara mencari limit akar menggunakan dalil L’Hopital.

Menghitung Limit Menggunakan Formula Dalil L’Hopital

Tadi kan kita udah kenalan nih sama apa itu aturan L’Hopital. Terus, kayak apa sih bunyinya rumus aturan L’Hopital ini?

Aturan L’Hopital berbunyi, misalkan f(x) dan g(x) fungsi yang terturunkan pada interval terbuka I.

rumus limit l hopital — Menghitung limit menggunakan dalil L’Hopital. (Arsip Zenius)

Masih bingung sampai sini? Oke, gue coba jelasin pelan-pelan, ya.

Aturan L’Hopital memberi tahu kalau misalnya elo punya limit tak tentu dengan hasil 0/0 atau ∞/∞, elo bisa menyelesaikan limit tersebut dengan menurunkan si pembilang dan penyebut dari fungsi limitnya. Setelah itu, nanti substitusi dari nilai si x ketika dimasukkan ke dalam fungsi yang udah diturunkan, bisa memperoleh nilai limit yang elo inginkan.

Seperti yang gue bilang tadi, karena rumus ini berbunyi fungsi yang terturunkan pada interval terbuka I, maka untuk menghitung limit menggunakan aturan L’Hopital, elo harus menurunkan fungsinya terlebih dahulu.

Inilah sebabnya kenapa bisa kita lihat $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^{1}(x)}{g^{1}(x)}$ , di mana $https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{1}(x)$ merupakan hasil turunan dari f(x). Begitu pula dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?g^{1}(x)$ yang merupakan turunan dari g(x).

Karena di sini kita mau mencari $https://latex.codecogs.com/svg.image?x \to a$ , maka nilai $https://latex.codecogs.com/svg.image?f^{1}(a)$ atau nilai turunan a-nya harus ada, supaya kita bisa memenuhi syarat fungsi yang terturunkan buat menggunakan formula dari aturan L’Hopital. Kalau ketika diturunkan nggak ada nilainya, maka kita nggak bisa menggunakan aturan L’Hopital ini.

Sudah mulai tercerahkan belum sampai sini, Sobat Zenius? Kalau masih bingung, tenang, gue bakal coba menggambarkan rumusnya pakai sebuah contoh supaya elo bisa lebih kebayang dan lebih mudah lagi memahaminya, ya.

Misalkan di sini kita punya fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin_{x}}{x}$ . Kemudian, kalau x-nya kita ganti jadi 0, maka fungsi limitnya akan menghasilkan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{0}{0}$ menjadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin_{x}}{x} = \frac{0}{0}$ .

Karena bentuknya memenuhi syarat dari aturan L’Hopital, maka perhitungannya jadi kayak gini:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin_{x}}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{cos_{x}}{1}$

Eh, bentar! Kok bisa kayak gitu jadinya? Supaya nggak bingung kenapa bisa jadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?cos_{x}$ , itu merupakan hasil dari turunan $https://latex.codecogs.com/svg.image?sin_{x}$ , ya. Kembali gue ingatkan kalau syarat menggunakan aturan L’Hopital yaitu fungsi yang terturunkan. Makanya di sini, kita menurunkan fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?sin_{x}$ yang menjadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?cos_{x}$ .

Setelah turunannya sudah ketemu, selanjutnya apa yang kita lakukan, nih? Elo tinggal memasukkan nilai x-nya aja ke dalam rumusnya. Karena nilai x menuju 0, jadi perhitungan limitnya bakal jadi kayak gini ….

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{cos_{0}}{1} = \frac{1}{1} = 1$

Nilai dari $https://latex.codecogs.com/svg.image?cos_{0} = 1$ ,

Sehingga hasil limitnya adalah 1.

Ternyata nggak sulit kan setelah melihat contohnya? 😀

Contoh Soal L’Hopital

Melihat contohnya di atas, gimana menurut elo nih Sobat Zenius? Kira-kira, menghitung fungsi limit menggunakan dalil L’Hopital ini gampang atau susah? Nah, supaya bisa jawabnya, langsung kita buktikan dengan mengerjakan contoh contoh soal teorema L’Hopital pada aplikasi turunan, yuk!

Hitunglah limit fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan L’Hopital.

Soal 1:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x}{tanx} = ...$

a. -4

b. -2

c. 0

d. 2

e. 4

Pembahasan 1:

Pertama, untuk mencari nilai limitnya kita substitusi nilai x = 0 ke fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{4x}{tanx}$ , yaitu menjadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{4(0}{tan(0)} = \frac{0}{0}$ .

Karena pada saat kita substitusi nilai x = 0 menghasilkan nilai limit bentuk tak tentu yaitu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{0}{0}$ , maka kita gunakan dalil L’Hopital untuk mencari nilai limitnya. Sehingga ….

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x}{tanx} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4}{sec^{2}x}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{4}{sec^{2}0}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{4}{1}$

= 4.

Jadi, jawaban yang paling tepat adalah e.

Soal 2:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{cos 2x}{sin x cos c} = ...$

a. -2

b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\sqrt{2}$

c. $https://latex.codecogs.com/svg.image?- \frac{1}{2}$

d. $https://latex.codecogs.com/svg.image?- \frac{\sqrt{2}}{2}$

e. 0

Pembahasan 2:

Pertama, untuk mencari nilai limitnya kita substitusi nilai $https://latex.codecogs.com/svg.image?x = \frac{\pi }{4}$ , yaitu menjadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{cos2(\frac{\pi }{4})}{sin\frac{\pi }{4}-cos\frac{\pi }{4}} = \frac{0}{0}$ .

Karena nilai limitnya adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{0}{0}$ , maka kita bisa menggunakan dalil L’Hôpital sebagai berikut:

Untuk mendapatkan turunan dari cos2x, kita gunakan aturan rantai yaitu turunannya adalah -2sin2x. Sehingga:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{cos2x}{sinxcosx} = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{-2sin2x}{cosx+sinx}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{-2sin2(\frac{\pi }{4})}{cos\frac{\pi }{4}+sin\frac{\pi }{4}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{-2sin(\frac{\pi }{2})}{cos\frac{\pi }{4}+sin\frac{\pi }{4}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{-2(1)}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{-2}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= -\sqrt{2}$

Jadi, jawaban yang benar adalah b.

Soal 3:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x - 6}{sin(3x-9)} = ...$

a. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{3}{2}$

b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{1}{2}$

c. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2}{3}$

d. 1

e. 3

Pembahasan 3:

Pertama, untuk mencari nilai limitnya kita substitusi nilai x = 3 ke fungsi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x-6}{sin(3x-9)}$ , yaitu menjadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2(3)-6}{sin(3(3)-9)} = \frac{0}{0}$ .

Karena nilai limitnya adalah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{0}{0}$ , maka kita bisa menggunakan dalil L’Hôpital sebagai berikut:

Untuk mendapatkan turunan dari sin(3x – 9), kita gunakan aturan rantai yaitu turunannya adalah 3 cos(3x – 9). Sehingga:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x-6}{sin(3x-9)} = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2}{3cos(3x-9)}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{2}{3cos[3(3-9)]}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{2}{3cos(0)}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \frac{2}{3(1)}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{2}{3}$

Jadi, jawaban yang paling tepat adalah c.

Semoga penjelasan dan contoh soal tadi bisa membantu mencerahkan elo tentang materi ini ya, Sobat Zenius.

Kalau misalnya elo masih penasaran sama materi ini dan pengen mendalami materinya supaya makin khatam lagi, elo bisa banget menonton video materi belajar Zenius lewat aplikasi maupun website Zenius dengan klik banner di bawah ini, ya!

Kalau Sobat Zenius ingin memperdalam wawasan di materi lainnya, kalian bisa coba dengan berlangganan paket belajar Zenius! Klik gambar di bawah ini ya, dijamin belajar kalian juga bakal makin seru!